[tex] {( {x }^{2} - 8x + 15)}^{3x - 1} = { ({x}^{2} - 8 \times + 15)}^{x + 3} [/tex]
Himpunan penyelesaian dari [tex](x^2-8x+15)^{3x-1}=(x^2-8x+15)^{x+3}[/tex] adalah {2, 4-√2, 3, 4, 5, 4+√2}.
PEMBAHASAN
Persamaan eksponen merupakan persamaan yang pangkatnya mengandung suatu konstanta atau suatu fungsi/variabel. Salah satu bentuk persamaan eksponen adalah [tex]f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}[/tex], yang dipenuhi oleh :
(i). g(x) = h(x).
(ii). f(x) = 1.
(iii). f(x) = -1, dengan g(x), h(x) bernilai genap/ganjil.
(iv). f(x) = 0, dengan g(x), h(x) bernilai positif.
.
DIKETAHUI
[tex](x^2-8x+15)^{3x-1}=(x^2-8x+15)^{x+3}[/tex]
.
DITANYA
Tentukan himpunan penyelesaiannya
.
PENYELESAIAN
[tex](x^2-8x+15)^{3x-1}=(x^2-8x+15)^{x+3}\left\{\begin{matrix}f(x)=x^2-8x+15 \\ \\g(x)=3x-1~~~~~~~~\\\\h(x)=x+3~~~~~~~~~\end{matrix}\right.[/tex]
.
(i). g(x) = h(x).
[tex]3x-1=x+3[/tex]
[tex]2x=4[/tex]
[tex]x=2[/tex]
.
(ii). f(x) = 1.
[tex]x^2-8x+15=1[/tex]
[tex]x^2-8x+14=0[/tex]
Gunakan rumus ABC :
[tex]\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}[/tex]
[tex]\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4(1)(14)}}{2(1)}}[/tex]
[tex]\displaystyle{x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-56}}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{8}}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{x_{1,2}=\frac{8\pm2\sqrt{2}}{2}}[/tex]
[tex]x_1=4-\sqrt{2}[/tex]
[tex]x_2=4+\sqrt{2}[/tex]
.
(iii). f(x) = -1, dengan g(x), h(x) bernilai genap/ganjil.
[tex]x^2-8x+15=-1[/tex]
[tex]x^2-8x+16=0[/tex]
[tex](x-4)^2=0[/tex]
[tex]x-4=0[/tex]
[tex]x=4[/tex]
.
Cek nilai g(4) dan h(4) :
[tex]g(4)=3(4)-1=11~~(ganjil)[/tex]
[tex]h(4)=(4)+3=7~~(ganjil)[/tex]
Karena g(4) dan h(4) sama sama ganjil, maka x = 4 termasuk solusinya.
.
(iv). f(x) = 0, dengan g(x), h(x) bernilai positif.
[tex]x^2-8x+15=0[/tex]
[tex](x-3)(x-5)=0[/tex]
[tex]x=3~atau~x=5[/tex]
.
Cek nilai g(3), h(3) dan g(5), h(5) :
[tex]g(3)=3(3)-1=8~~(positif)[/tex]
[tex]h(3)=(3)+3=6~~(positif)[/tex]
.
[tex]g(5)=3(5)-1=14~~(positif)[/tex]
[tex]h(5)=(5)+3=8~~(positif)[/tex]
Karena g(3), h(3), g(5), h(5) bernilai positif maka x = 3 dan x = 5 termasuk solusinya.
.
Diperoleh HP = {2, 4-√2, 3, 4, 5, 4+√2}.
.
KESIMPULAN
Himpunan penyelesaian dari [tex](x^2-8x+15)^{3x-1}=(x^2-8x+15)^{x+3}[/tex] adalah {2, 4-√2, 3, 4, 5, 4+√2}.
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Persamaan eksponen : https://brainly.co.id/tugas/47349130
- Persamaan eksponen : https://brainly.co.id/tugas/30289684
- Persamaan eksponen : https://brainly.co.id/tugas/30285861
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 10
Mapel: Matematika
Bab : Logaritma dan Eksponen
Kode Kategorisasi: 10.2.2.1
[answer.2.content]
